Vecteurs et translation  cours.doc

 

A et B sont deux points donnés. 

  1. Rappel :

On dit qu’un point M’  est l’image d’un point M  par la translation qui transforme A en B lorsque ABM’M est un parallélogramme.

 

Attention à l’ordre des points.

 

Pour construire ce point M’,  il faut :

(MM’) parallèle à (AB).

 

[MM’] de la même longueur que [AB] ce qui laisse un deuxième point possible, M’’.

Choisir le sens de A vers B pour éliminer le point M’’.
       

  1. Définition

Pour dire qu’un point M’  est l’image d’un point M  par la translation qui transforme A en B,

On dit que  M’  est l’image du point M  par la translation de vecteur . 

Un vecteur   est donc défini par trois caractères : 

Sa direction 

Parallèle à la droite (AB)

Sa longueur 

Même longueur que le segment [AB]

Son sens 

Sens de A vers B

  1. Egalité vectorielle

Deux vecteurs  et  sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens, même longueur.

On écrit alors  = . 

  1. Vecteurs et milieu d’un segment

Soit I le milieu d’un segment [AB].

On a alors immédiatement : (AI) // (IB) ; AI = IB et le même sens de A vers I que de I vers B.

Autrement dit on a la

a. Propriété 1 :  si  I le milieu d’un segment [AB],   = .

 

Réciproquement, on a aussi la

b.  Propriété 2 : si  = , alors I le milieu d’un segment [AB]. 

 

 

 

 

  1. Vecteurs et parallélogramme

    1. Propriété 1 : Si   = , (alors ABCD est un parallélogramme et ses diagonales …) [AC] et [BD] ont le même milieu.

 

    1. Propriété 2 : Si [AC] et [BD] ont le même milieu, (alors ABCD est un parallélogramme et …) alors    = .

  1. Somme de deux vecteurs.

    1. Composée de deux translations :

Propriété  et définition : Soit M’ l’image d’un point M par la translation de vecteur , et M’’ l’image de M’ par la translation de vecteur .

Alors M’’ est aussi l’image de M par la translation de vecteur .

On dit que M’’ est l’image de M par la composée des deux translations de vecteurs   et .

 

 

 

 

 

    1. Relation de Chasles

Définition :

On dit que le vecteur défini ci-dessus est la somme des vecteurs  et .

On écrit : Pour tout point A, B et C du plan

 + = .

Cette relation est connue sous le nom de relation de Chasles.

Cas particuliers : Si C = A .

La relation devient  + = .

Le vecteur  est un vecteur de longueur nulle, et il n’a pas de direction.

On le note  et on l’appelle vecteur nul.

On a alors pour tout point du plan :  =  =  = .

Définition : Pour tous points A et B on a   + = .

on dit que  est un vecteur opposé au vecteur .

On note :  = 

  

    1. Règle du parallélogramme

Propriété : La somme des vecteurs  et  est le vecteur où D est le quatrième sommet du parallélogramme ABDC.

Il est clair en effet que les vecteurs  et  sont égaux et qu’on a alors :

+  = +  = .

 

 

  1. Composition de deux symétries centrales

 

Propriété : La composée de deux symétries centrales de centres I et J est la translation de vecteur   .

 

En effet, soit M un point, M’ son symétrique par rapport à I et M’’ l’image de M’ par rapport à J.

(IJ) est alors une « droite des milieux » dans le triangle MM’M’’.

 

On a donc bien  =